이차방정식 계산기 (근의 공식)
ax² + bx + c = 0의 계수 a, b, c를 입력하면 근을 즉시 구합니다 — 실근이 있으면 실근을, 없으면 복소근 쌍을, 그리고 어느 경우인지 알려주는 판별식까지 함께 보여줍니다.
근 x₁2
근 x₂1
복소근—
판별식 (b² − 4ac)1
이 계산의 원리
근의 공식이 두 근을 바로 줍니다: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a.
판별식 D = b² − 4ac가 근의 성질을 결정합니다: D > 0이면 서로 다른 두 실근, D = 0이면 중근, D < 0이면 켤레 복소근 쌍입니다.
a = 0이면 이차가 아니라 일차방정식(bx + c = 0)이며, 계산기는 그 유일한 근 x = −c/b를 반환합니다.
예제로 이해하기
x² − 3x + 2 = 0의 경우: D = 9 − 8 = 1 > 0이므로 x = (3 ± 1)/2, 즉 x₁ = 2, x₂ = 1입니다. 인수분해로 확인: (x − 1)(x − 2) = 0.
판별식이 알려주는 것
| 판별식 | 근 | 포물선과 x축 |
|---|---|---|
| D > 0 | 서로 다른 두 실근 | 축과 두 번 만남 |
| D = 0 | 중근 (겹친 실근) | 꼭짓점에서 축에 접함 |
| D < 0 | 켤레 복소근 쌍 | 축과 만나지 않음 |
이차방정식을 푸는 세 가지 방법
근이 깔끔한 정수일 때는 인수분해가 가장 빠릅니다: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). 완전제곱식은 식을 (x + b/2a)² = … 꼴로 바꾸는 방법으로, 근의 공식이 여기서 유도됩니다. 근의 공식은 계수가 무엇이든 항상 통하며, 이 계산기가 쓰는 방법입니다.
비에타 정리로 검산할 수 있습니다: 두 근의 합은 −b/a, 곱은 c/a여야 합니다. 하나라도 어긋나면 계산이 틀린 것입니다.
이차방정식이 나오는 곳
포물선 운동(시간에 따른 높이), 이익 극대화, 넓이·최적화 문제, 제동거리, 위성 안테나와 전조등의 형태까지 모두 이차방정식이 지배합니다. 근의 공식이 학교 수학에서 가장 많이 쓰이는 결과 중 하나인 이유입니다.
자주 묻는 질문
a가 0이면 어떻게 되나요?
x² 항이 없으므로 일차방정식 bx + c = 0이 되고, 근은 x = −c/b 하나입니다. 계산기가 자동으로 처리합니다.
복소근이 뭔가요?
판별식이 음수면 어떤 실수의 제곱으로도 만들 수 없으므로 근에 i = √−1이 들어갑니다. p ± qi 꼴의 켤레 쌍으로 나오며, 이때 포물선은 x축과 만나지 않습니다.
구한 근이 맞는지 어떻게 확인하나요?
근을 ax² + bx + c에 대입해 0이 되는지 보거나, 비에타 정리(근의 합 = −b/a, 근의 곱 = c/a)로 검산하세요.
D = 0이면 왜 근이 하나뿐인가요?
공식의 ±가 √D를 더하고 빼는데, D = 0이면 두 부호가 같은 값 x = −b/2a를 줍니다. 포물선이 축에 접하는 중근(이중근)입니다.
본 도구는 일반 정보 제공용입니다. 중요한 수치는 별도로 확인하세요. · 최종 검토일: 2026년 8월 25일