Quadratische Gleichung lösen (Mitternachtsformel)
Geben Sie die Koeffizienten a, b und c von ax² + bx + c = 0 ein und erhalten Sie die Lösungen sofort — reelle Lösungen, wenn sie existieren, das komplexe Paar, wenn nicht, plus die Diskriminante, die Ihnen sagt, in welchem Fall Sie sich befinden.
So funktioniert diese Berechnung
Die Lösungsformel liefert beide Lösungen direkt: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a.
Die Diskriminante D = b² − 4ac bestimmt die Art der Lösungen: D > 0 ergibt zwei verschiedene reelle Lösungen, D = 0 eine doppelte reelle Lösung und D < 0 ein Paar komplex konjugierter Lösungen.
Ist a = 0, so ist die Gleichung nicht quadratisch, sondern linear (bx + c = 0), und der Rechner gibt ihre einzige Lösung x = −c/b zurück.
Rechenbeispiel
Was die Diskriminante verrät
| Diskriminante | Lösungen | Parabel & x-Achse |
|---|---|---|
| D > 0 | Zwei verschiedene reelle Lösungen | Schneidet die Achse zweimal |
| D = 0 | Eine doppelte reelle Lösung | Berührt die Achse im Scheitel |
| D < 0 | Komplex konjugiertes Paar | Berührt die Achse nie |
Drei Wege, eine quadratische Gleichung zu lösen
Faktorisieren ist am schnellsten, wenn die Lösungen glatte ganze Zahlen sind: x² − 3x + 2 lässt sich als (x − 1)(x − 2) zerlegen. Die quadratische Ergänzung schreibt die Gleichung als (x + b/2a)² = … um und ist die Herleitung der Lösungsformel. Die Formel selbst funktioniert immer, welche Koeffizienten auch vorliegen — genau das nutzt dieser Rechner.
Zwei praktische Kontrollen aus den Formeln von Vieta: Die Lösungen ergeben zusammen −b/a und multipliziert c/a. Stimmt eine der beiden nicht, ist irgendwo ein Fehler passiert.
Wo quadratische Gleichungen auftauchen
Wurfbewegungen (Höhe über Zeit ist eine Parabel), Gewinnmaximierung in der Wirtschaft, Flächen- und Optimierungsaufgaben, Bremswege sowie die Form von Satellitenschüsseln und Scheinwerfern werden alle von quadratischen Gleichungen bestimmt — deshalb ist die Formel eines der meistgenutzten Ergebnisse der Schulmathematik.